Дата публикации: 28.03.2024
Геометрия 11 класс: помощь в решении задач
- Задача 1: Найдите площадь треугольника, если известны его стороны a = 5, b = 7, c = 8. Решение: Используем формулу Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр треугольника (p = (a+b+c)/2). Подставляем значения сторон: p = (5+7+8)/2 = 10, S = √(10(10-5)(10-7)(10-8)) = √(1053*2) = √300 = 10√3. Ответ: S = 10√3.
- Задача 2: Найдите угол между диагоналями параллелограмма, если известны их длины: d1 = 6, d2 = 8. Решение: Угол между диагоналями параллелограмма можно найти по формуле: cos(α) = (d1^2 + d2^2 - a^2)/(2d1d2), где α - искомый угол. Подставляем значения длин диагоналей: cos(α) = (6^2 + 8^2 - 268)/(268) = (36 + 64 - 96)/(96) = 4/96 = 1/24. Находим угол: α = arccos(1/24) ≈ 85.94°. Ответ: Угол между диагоналями параллелограмма α ≈ 85.94°.
- Задача 3: Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его стороны: a = 4, b = 6, c = 8. Решение: Объем прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: V = abc. Подставляем значения сторон: V = 468 = 192. Ответ: V = 192.
- Задача 4: Найдите площадь поверхности цилиндра, если известны его радиус основания r = 3 и высота h = 5. Решение: Площадь поверхности цилиндра можно найти по формуле: S = 2πr(r+h). Подставляем значения радиуса и высоты: S = 2π3(3+5) = 2π3*8 = 48π. Ответ: S = 48π.
- Задача 5: Найдите угол между плоскостями, если известны их уравнения: 2x - y + z = 4 и x + 3y - 2z = 5. Решение: Угол между плоскостями можно найти по формуле: cos(α) = |a1a2 + b1b2 + c1c2|/(√(a1^2 + b1^2 + c1^2)√(a2^2 + b2^2 + c2^2)), где (a1, b1, c1) и (a2, b2, c2) - нормальные векторы плоскостей. Подставляем коэффициенты уравнений: cos(α) = |21 + (-1)3 + 1(-2)|/(√(2^2 + (-1)^2 + 1^2)√(1^2 + 3^2 + (-2)^2)) = |2 - 3 - 2|/(√6√14) = |-3|/(√6√14) = 3/(√6*√14) = 3/(√84) = 3/(2√21). Находим угол: α = arccos(3/(2√21)) ≈ 70.53°. Ответ: Угол между плоскостями α ≈ 70.53°.
